mkdir [中略] Permission denied

というエラーが出てしまいます。

これはパーミッションの問題なので、FTPクライアントで修正しても良いのですが、再構築するたびに手動で修正するのは面倒です。
次回インストール時のために、サーバーの設定を変更する方法をメモ代わりにまとめておきます。

mt-config.cgiを修正する

PHPのパーミッションやPHPを設置しているディレクトリのパーミッションが 777 や 666 の場合、500エラーが発生します。
これを回避するため、mt-config.cgiに、ファイルのパーミッションに関する設定を書き足します。

DBUmask 0072
HTMLUmask 0072
UploadUmask 0072
DirUmask 0072

HTMLPerms 0705
UploadPerms 0705

参考・引用元：MovableTypeでphp化 出力時のパーミッションを変更する – blog.ao-design

.htaccessを修正する

また、管理画面でphpのバージョン変更をおこなった時、自動的に生成されるhtaccessの修正が必要です。
.htaccessの内容を、

AddHandler x-httpd-php5 .php .phps

から

AddHandler x-httpd-php5 .php .phps .html

に修正します。

参考・引用元：エックスサーバーでphpをhtml上で動かす – 初心者ノート

公開設定のサイトパスを修正する

上の2つをやってみてもダメだった場合は、公開サイトパスを間違って設定している可能性が高いです。
エックスサーバーで、独自ドメインを利用している場合、

サイトURL：http://www.[ドメイン名].com/
サイトパス：/home/coldfervor/[ドメイン名]/public_html/

となります。
私は、サイトパスの設置を間違えていて、アカウント名.xsrv.jpから記載していました。

上記3つの設定を順番に修正して再構築すると、再構築できない問題が解決しました。
ただ、どの順番でやれば良いかというのが正確にはわからないので、この記事では、私がおこなった手順を順番に記載しました。
利用しているのはx70番台サーバーですが、エックスサーバーではx50番台以降でこれらの設定が必要なようです。

エックスサーバーを使っていて、MTの再構築が何故かうまくいかない、エラーが出るという時は試してみてください。